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totale eft 8376 livres 18 fols 4 deniers; ainfi des

autres.

PREUVE DE L'ADDITION. Avertiffement fur la preuve des quatre Règles, que l'on appelle Preuve de 9.

Quoique l'Addition, Souftraction, Multiplication, & la Divifion, qui font les quatre préceptes defquels on fe fert pour faire toutes les Règles d'Arithmetique en nombres entiers, fe doivent prouver par leur contraire; fçavoir l'Addition par la Souftraction, & la Souftraction par l'Addition, la Multiplication par la Divifion, & la Divifion par la Multiplication; néanmoins il femble qu'il foit néceffaire en certaines chofes de fuivre l'ufage & la pratique ancienne, & fe conformer en quelque façon au defir de ceux qui cherchent la facilité. C'eft pourquoi je n'ai pas voulu négliger de dormer l'explication de la preuve de l'Addition par 9, quoiqu'elle foit fujette à manquer, comme je ferai voir ci-après par raifon évidente.

Enfuite de quoi j'expliquerai la preuve de la même Règle d'Addition, laquelle fe fait par Souftraction. Exemple d'addition en nombres entiers, pour la pratique de la

Sommes à

ajouter

preuve par 9.

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2

Explication de la preuve par 9.

Pour prouver l'Addition ci-deffus, il faut nome brer tous les caractères de chaque colomne, commençant à main gauche de haut en bas, ou de bas en haut indifféremment, & rejetter tous les 9

à mefurc qu'il s'en rencontre dans les nombres, foit en figures, foit en valeur, & à la fin pofer fur une ligne le furplus de 9.

Enfuite il faut tire: la preuve de la fomme totale, rejettant les 9 comme deffus; & fi le furplus de 9 vient égal au premier refte pofé fur ladite ligne, la fomme totale de l'Addition fera la véritable fomme que l'on cherche, comme il fe voit ci-deffus où il refte 2 pour preuve, tant des fommes particulières, que de la fomme totale; mais ce n'eft qu'entant que l'on peut eftimer bonne la preuve par 9, parce qu'elle eft fujette à manquer.

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La raison eft, que fi par malice, ou par mécompte on met un 9 pour un zero, ou au contraire, ou que l'on change quelque caractère de place, tant aux fommes particulières, qu'à la foinme totale, la preuve ne laiffe pas de fe trouver bonne, & néanmoins la Règle eft fauffe: Au lieu, au contraire, que lorfque la preuve eft fauffe, la Règle est fauffe auffi, comme il fe voit dans l'exemple ci-deffus, où la fomme totale eft 9290, laquelle étant fuppofée être 9920, fi on en tire la preuve, elle fe trouvera bonne, parce que le furplus de 9 eft 2 comme ci-devant, & cependant la Règle feroit fauffe.

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Si au contraire on fuppofuit la fomme totale de l'Addition ci-deffus être 9820, la preuve feroit fauffe, & partant la Règle fauffe auffi, & ainsi des autres Additions, tant en nombres entiers, que de diverfes efpèces, foit d'Addition, Soustraction, Multiplication ou Divifion: C'eft pourquoi je ne vous confeille de vous en fervir, que par fupplément de la véritable preuve, laquelle fe fait par le contraire, c'eft-à-dire par Souftraction,

Autre avertiffement fur la preuve de l'Addition par 9.

Si les fommes particulières à ajouter font com

pofées de livres, fols & deniers, comme à l'exemples fuivant, qui fervira auffi pour expliquer la preuve de l'Addition par la Souftraction; alors on gardera le même ordre ci-deffus pour les livres, qui eft de rejetter tous les 9 qui fe trouveront ; mais au lieu que l'on écrit tout fimplement le furplus de 9. fur une ligne, quand il n'y a que des livres à ajouter, ici dans l'Addition de livres, fols & deniers, après avoir tiré la preuve de toutes les livres, il faut doubler le furplus de 9, s'il y en a, pour le joindre aux fols, defquels il faut tirer la preuve de même, & tripler le furplus de 9, s'il y en a, pour le joindre aux deniers, defquels il faut encore tirer la preuve, & viendra 2, qu'il faut écrire fur une ligne.

Enfin, il faut tirer la preuve de la fomme totale en même raison; fçavoir, après avoir tiré la preuve de toutes les livres, de doubler le furplus de 9 pour le porter aux fols; & tripler le furplus de 9 aux fols pour les porter aux deniers, defquels ayant tiré la preuve, le furplus de 9, qui fera 2, fe doit écrire fous la même ligne, defquels deux reftes fe trouvant égaux, on doit conclure que la Règle eft bien faite comme il fe voit dans l'exemple ci-deffous où la preuve des deniers de la fomme totale fe trouve égale à la preuve des deniers des fommes particulières, fçavoir 2 & 2.

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La raison pourquoi, après avoir tiré la preuve des livres, on double le furplus de 9 pour le joindrę aux fols, c'eft que chaque livre vaut 20 fols, & que la prenve de 20 eft deux; comme auffi pourquoi, après avoir tiré la preuve des fols, on triple le furplus de 9 pour le porter aux deniers, c'est que chaque fol vaut 12 deniers, & que la preuve de 12, c'eft-à-dire, le furplus de 9 eft 3.

On obfervera le même ordre pour la preuve la Soustraction, Multiplication, & Divifion, lor

de

qu'il y aura livres, fols & deniers, de doubler aux livres, tripler aux fols, & aux deniers écrire la preuve comme elle fe trouvera, comme il vient d'être dit pour l'Addition; c'eft pourquoi l'explication ci-deffus fervira pour la preuve par 9 des autres Règles, fans en donner d'autres raisons, finon les précédentes.

Exemple d'Addition, par livres, fols & deniers. Un particulier eft comptable des quatre fommes ci-deffous, on demande à combien fe monte la fomme totale.

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Ayant fait l'Addition, ci-dessus, comme il a été enfeigné ci-devant, il eft venu pour fomme totale: 7694 livres 18 fols 8 deniers.

Preuve de l' Addition par la Souftration.

Pour faire la preuve de l'Addition ci-dessus par la Soustraction, il faut nouvellement ajouter les nombres de la colomne D, on trouvera 6, qu'il faut ôter du 7 de la fomme totale, & refte 1, qu'il faut écrire fous le même 7: Enfuite ajoutant les nombres de la colomne C, vient 15, qu'il faut ôter de 16, compofés de l'unité ou dixaine reftée, & du 6 qui eft enfuite du 7 de la même fomme totale, & refte 1, qu'il faut écrire fous le même 6: Enfuiteajoutant les nombres de la colomne B, il fe trouve 17, qu'il faut ôter de 19, compofés de l'unité ou dixaine restée, & du 9 de la fomine totale, & le

refte eft 2 Puis ajoutant les nombres de la colomne A, il fe trouve 23, qu'il faut ôter de 24, compofés de deux unités ou dixaines reftées, & du 4 de la même colomne totale, & refte 1, c'eft-à-dire, I livre en cet endroit, qu'il faut compter pour 20 fels.

Enfuite nombrant les fols, on en trouve 37, qu'il faut ôter de 38, compofés de la livre reftée valant 20 fols, & des 18 fols de la fomme totale, & refte 1; c'est-à-dire, 1 fol en cet endroit, qui vaut 12 deniers.

Enfin comptant tous les deniers, il fe trouve 20 den. qu'il faut ôter de 20 den. compofés du fol resté 1 valant 12 den. & des 8 den, de la fomme totale il ne refte rien, comme veut la Règle; partant faut conclure que la véritable fomme totale eft 7694 livres 18 fols 8 deniers.

il

Quand l'Addition n'eft que des nombres entiers, comme d'hommes, de livres, écus, &c. il faut observer le même ordre que deffus; & ôtant ce qui fe trouve dans chaque colomne, de ce qui fe trouve deffous à la fomme totale, il ne doit rien refter à la dernière Souftraction, autrement la Règle feroit fauffe.

,

Si en l'Addition il y a comme il arrive souvent dans les Livres des comptes) 25, 30, ou plus de fommes à ajouter comme ci-deffous, lors il les faut féparer de 6 en 6, ou de 8 en 8; felon la commodité de celui qui compte, & cotter à part les produits de chaque fomme féparée, pour les ajouter en une fomme qui fera la totale.

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